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数学高考真题解答题解析参考

数学高考真题解答题解析参考

snjun snjun
2025-03-16
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高考 真题 数学 答题参考
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数学高考真题解答题解析参考

解答题思路梳理详解步骤，给数学不是很好或者解答有疑问的人一个思路参考，对数学有兴趣的人可以看看，锻炼数学做题解题思路，提高做题能力。

解答题17题

17.（10分）

已知在 △ABC 中， ( A + B = 3C )， 2sin⁡(A−C)=sin⁡B 2\sin(A - C) = \sin B .

（1）求 sin⁡A\sin A；
（2）设 ( AB = 5 )，求 AB 边上的高。

🧠 解题思路与详细解析

✦ 第一步：整理条件

在三角形中，角和恒有：

A+B+C=πA + B + C = \pi

而题干给出：
A+B=3C A + B = 3C

代入总角和：

3C+C=π⇒C=π4 3C + C = \pi \Rightarrow C = \frac{\pi}{4}

所以：

A+B=3π4⇒A+B=135∘⇒A+B=3C A + B = \frac{3\pi}{4} \Rightarrow A + B = 135^\circ \Rightarrow A + B = 3C

✦ 第二步：求 sin⁡A \sin A

利用题干给出的三角恒等式：
2sin⁡(A−C)=sin⁡B 2\sin(A - C) = \sin B

我们已经知道 C=π4 C = \frac{\pi}{4}

又由 A+B=3π4 A + B = \frac{3\pi}{4} ，
即 B=3π4−A B = \frac{3\pi}{4} - A

代入恒等式：

2sin⁡(A−π4)=sin⁡(3π4−A) 2\sin(A - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4} - A)

我们使用正弦函数差角公式：

左边： 2sin⁡(A−π4)=2[sin⁡Acos⁡π4−cos⁡Asin⁡π4]=2[sin⁡A⋅22−cos⁡A⋅22]=2(sin⁡A−cos⁡A) 2\sin(A - \frac{\pi}{4}) = 2\left[\sin A \cos \frac{\pi}{4} - \cos A \sin \frac{\pi}{4}\right] = 2\left[\sin A \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos A \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right] = \sqrt{2}(\sin A - \cos A)

sin⁡(3π4−A)=sin⁡(π2+π4−A)=cos⁡(A−π4)=cos⁡Acos⁡π4+sin⁡Asin⁡π4=cos⁡A⋅22+sin⁡A⋅22=22(cos⁡A+sin⁡A) \sin(\frac{3\pi}{4} - A) = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} - A) = \cos(A - \frac{\pi}{4}) = \cos A \cos \frac{\pi}{4} + \sin A \sin \frac{\pi}{4} = \cos A \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin A \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos A + \sin A)

于是有：

2(sin⁡A−cos⁡A)=22(cos⁡A+sin⁡A) \sqrt{2}(\sin A - \cos A) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos A + \sin A)

两边同时除以 2 \sqrt{2} 得：

sin⁡A−cos⁡A=12(cos⁡A+sin⁡A) \sin A - \cos A = \frac{1}{2} (\cos A + \sin A)

移项：

sin⁡A−12sin⁡A=cos⁡A+12cos⁡A⇒12sin⁡A=32cos⁡A⇒tan⁡A=3 \sin A - \frac{1}{2} \sin A = \cos A + \frac{1}{2} \cos A \Rightarrow \frac{1}{2} \sin A = \frac{3}{2} \cos A \Rightarrow \tan A = 3

所以：

sin⁡A=310,cos⁡A=110 \sin A = \frac{3}{\sqrt{10}},\quad \cos A = \frac{1}{\sqrt{10}}

（注意由 tan⁡A=3⇒ \tan A = 3 \Rightarrow 构造直角三角形：对边 3，邻边 1，斜边 10 \sqrt{10} ）

✅ 第（1）问答案：

sin⁡A=310=31010 \sin A = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}

问题二 求 AB 边上的高

✅ 第一步：使用正弦定理表达 a a 的值

正弦定理： asin⁡A=csin⁡C⇒a=csin⁡Asin⁡C \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow a = \frac{c \sin A}{\sin C}

AB = 5 AB边即c 带入：

  • c=5 c = 5
  • sin⁡A=31010 \sin A = \frac{3\sqrt{10}}{10}
  • sin⁡C=22 \sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}

代入计算：

a=5⋅3101022=3102⋅522=3102⋅22=35 a = \frac{5 \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{5}

✅ 第二步：由 sin⁡A=3cos⁡A \sin A = 3\cos A 推出 cos⁡A=1010 \cos A = \frac{\sqrt{10}}{10}

由第（1）问已知：

tan⁡A=3⇒sin⁡A=3cos⁡A⇒cos⁡A=sin⁡A3=310/103=1010 \tan A = 3 \Rightarrow \sin A = 3\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{\sin A}{3} = \frac{3\sqrt{10}/10}{3} = \frac{\sqrt{10}}{10}

✅ 第三步：用正弦加法公式求 sin⁡B \sin B

我们知道：

B=135∘−A=A+C⇒sin⁡B=sin⁡(A+C)=sin⁡Acos⁡C+cos⁡Asin⁡C B = 135^\circ - A = A + C \Rightarrow \sin B = \sin(A + C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C

代入具体数值：

  • sin⁡A=31010 \sin A = \frac{3\sqrt{10}}{10}
  • cos⁡C=22 \cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}
  • cos⁡A=1010 \cos A = \frac{\sqrt{10}}{10}
  • sin⁡C=22 \sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}

代入得：

sin⁡B=31010⋅22+1010⋅22=42020=255 \sin B = \frac{3\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{10}}{10} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{20}}{20} = \frac{2\sqrt{5}}{5}

✅ 第四步：再用正弦定理求边 b b

bsin⁡B=csin⁡C⇒b=csin⁡Bsin⁡C=5⋅25522=210 \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{5 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{10}

✅ 第五步：用面积公式求高

面积公式（用高）： S=12⋅c⋅h S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h

面积公式（用两边+夹角）： S=12b⋅c⋅sin⁡A S = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin A

两边式子相等（都是求三角形面积S）：

12⋅c⋅h=12b⋅c⋅sin⁡A⇒h=b⋅sin⁡A=210⋅31010=6⋅1010=6 \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin A \Rightarrow h = b \cdot \sin A = 2\sqrt{10} \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{6 \cdot 10}{10} = 6

✅ 最终答案为：高 = 6